Question

16．在平面直角坐标系xOy中，给定两个定点M（-1，2）和N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是1．

Answer 1

分析 ∠MPN为弦MN所对的圆周角，故当圆的半径最小时，∠MPN最大，设过MN且与x轴相切的圆与x轴的切点为P，则P点的横坐标即为所求．

解答 解：过M、N两点的圆的圆心在线段MN的中垂线y=3-x上，设圆心E（a，3-a），
∠MPN为弦MN所对的圆周角，故当圆的半径最小时，∠MPN最大．
由于点P在x轴上移动，故当圆和x轴相切时，∠MPN最大，此时，切点P（a，0），圆的半径为|a|．
因为M，N，P三点在圆上，∴EN=EP，∴（a+1）²+（a-2）²=（a-1）²+（a-4）² ，
整理可得，a²+6a-7=0．
解方程可得a=1，或a=-7（舍去），
故答案为：1．

点评 本题主要考查了圆的性质圆外的角小于圆周角在求解角的最值中的 应用，属于基础题．