Question

13．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{7}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，其长轴两端点与双曲线两焦点重合，而双曲线的两个顶点又是椭圆的焦点．求此双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 求出椭圆的顶点坐标，焦点坐标，即可得到双曲线焦点坐标与顶点坐标，然后求解双曲线方程．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{7}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦点为（0，±3），y轴上的两个顶点为（0，±4），
∴双曲线中a=3，c=4．
∴b²=c²-a²=7
∴双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{7}=1$．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{7}=1$．

点评 解决圆锥曲线的方程问题一定要注意椭圆中三个参数的关系为：a²=b²+c²；双曲线中三个参数的关系为c²=b²+a²