Question

17．某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格，．经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为$\frac{8}{9}$，第二道工序检查合格的概率为$\frac{9}{10}$，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器．
（I）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；
（Ⅱ）若生产一台仪器合格可盈利5万元，不合格则要亏损1万元，记该厂每月的赢利额为ξ，求ξ的分布列和每月的盈利期望．

Answer 1

分析 （I）求出每生产一台合格仪器的概率，利用独立重复试验的概率公式求本月恰有两台仪器完全合格的概率；
（II）根据题意得到变量的可能的取值，根据变量对应的事件，利用独立重复试验的概率公式得到概率，写出分布列，根据做出的变量的分布列，代入求期望值的公式做出期望值

解答 解：（Ⅰ） 设恰有两台仪器完全合格的事件为A，每台仪器经两道工序检验完全合格的概率为$P=\frac{8}{9}×\frac{9}{10}{=}\frac{4}{5}$…（2分）
所以$P（A）={C_3}^2{p^2}（1-p）={C_3}^2{（\frac{4}{5}）^2}（1-\frac{4}{5}）=\frac{48}{125}$…（5分）
（Ⅱ） 每月生产的仪器完全合格的台数可为3，2，1，0四种
所以赢利额ξ的数额可以为15，9，3，-3…（7分）
当ξ=15时，$P（ξ=15）={C_3}^3{（\frac{4}{5}）^3}=\frac{64}{125}$
当ξ=9时，$P（ξ=9）={C_3}^2{（\frac{4}{5}）^2}\frac{1}{5}=\frac{48}{125}$
当ξ=3时，$P（ξ=3）={C_3}^1\frac{4}{5}{（\frac{1}{5}）^2}=\frac{12}{125}$
当ξ=-3时，$P（ξ=-3）={C_3}^0{（\frac{1}{5}）^3}=\frac{1}{125}$…（10分）
每月的盈利期望$Eξ=15×\frac{64}{125}+9×\frac{48}{125}+3×\frac{12}{125}+（-3）\frac{1}{125}=\frac{57}{5}=10.14$
所以每月的盈利期望值为10.14万元…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和期望，独立重复试验的概率公式，本题解题的关键是看出所给的变量符合什么规律，利用概率的公式来解题．