Question

9．已知△ABC中，AB=7，AC=8，BC=9，P点在平面ABC内，且$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PC}$+7=0，则|$\overrightarrow{PB}$|的最大值为10．

Answer 1

分析 由已知求出cosB，进一步求得$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=33$，$|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=14$，然后结合已知条件$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PC}$+7=0，运用向量的三角形法则，结合向量的数量积的定义和余弦函数的值域，即可求得|$\overrightarrow{PB}$|的范围，从而得到|$\overrightarrow{PB}$|的最大值．

解答 解：在△ABC中，
∵AB=7，AC=8，BC=9，
∴$cosB=\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}=\frac{{7}^{2}+{9}^{2}-{8}^{2}}{2×7×9}$=$\frac{11}{21}$，
$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}|•|\overrightarrow{BC}|cosB=7×9×\frac{11}{21}$=33，
∴$|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=\sqrt{{\overrightarrow{BA}}^{2}+{\overrightarrow{BC}}^{2}+2\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{9}^{2}+2×33}=14$，
由$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PC}$+7=0，得$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PC}$=-7，
则$（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BA}）•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}）=-7$，
即${\overrightarrow{PB}}^{2}+\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=-7$，
∴$|\overrightarrow{PB}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}|cosα+33=-7$（α为$\overrightarrow{PB}$与（$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}$）所成的角），
由-1≤cosα≤1，可得-1≤$\frac{|\overrightarrow{PB}{|}^{2}+40}{14|\overrightarrow{PB}|}$≤1，
解得，4≤$|\overrightarrow{PB}|≤10$．
∴|$\overrightarrow{PB}$|的最大值为10．
故答案为：10．

点评 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形中余弦定理的运用，考查余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．