Question

5．已知正四面体ABCD（各面均为正三角形）的棱长为2，其内切球面上有一动点P，则AP的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 求出正四面体的高，进一步得到内切球的半径，由高减去内切球的直径得答案．

解答 解：设正四面体ABCD的棱长为a，高为h，每一个面的面积为S，其内切球的半径为r，
则由等积法可得，$\frac{1}{3}Sh=4•\frac{1}{3}Sr$，即$r=\frac{1}{4}h$．
正四面体ABCD的棱长为2，如图，
则BE=$\sqrt{3}$，BO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$AO=\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴正四面体内切球的直径为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
则AP的最小值为$\frac{2\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查棱锥的结构特征，应熟记正四面体内切球的半径是正四面体高的四分之一这一结论，是中档题．