Question

15．已知函数f（x）=-asinx+b，（a，b∈R）．
（1）若a＞0，当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]时，函数f（x）的最大值为0，最小值为-4，求a，b的值；
（2）当b=1，函数g（x）=f（x）+cos²x，x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]的最大值为3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：f（x）=-asinx+b∈[-a+b，$\frac{a}{2}$+b]，从而可得：-a+b=-4，$\frac{a}{2}$+b=0，即可解得a，b的值．
（2）由b=1，可得：g（x）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2-（sinx+$\frac{a}{2}$）²，由x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，可得sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，由题意最大值为3，利用g_max=3建立相关的方程，此处要用二次函数在某一个确定区间上的最值问题的相关知识来最值为3的条件转化为参数a的方程来求值．

解答 解：（1）∵f（x）=-asinx+b，（a，b∈R）．
∴a＞0，当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]时，sinx∈[-1，$\frac{1}{2}$]，asinx∈[-a，$\frac{a}{2}$]，f（x）=-asinx+b∈[-a+b，$\frac{a}{2}$+b]，
∵函数f（x）的最大值为0，最小值为-4，
∴-a+b=-4，$\frac{a}{2}$+b=0，解得：a=-$\frac{8}{3}$，b=$\frac{4}{3}$．
（2）∵b=1，可得：f（x）=1-asinx，
∴g（x）=f（x）+cos²x
=1-asinx+cos²x
=2-asinx-sin²x
=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2-（sinx+$\frac{a}{2}$）²，
令t=sinx，
g（t）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2-（t+$\frac{a}{2}$）²，∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴t∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
分类讨论：
若-$\frac{a}{2}$＜-$\frac{1}{2}$，即a＞1，
g_max=g（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2-（t+$\frac{a}{2}$）²=3，故a=$\frac{5}{2}$；
若-$\frac{1}{2}$≤-$\frac{a}{2}$≤1即-2≤a≤1，
g_max=g（-$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2=3，得a=-2，或2（舍去）；
若-$\frac{a}{2}$＞1，即a＜-2，
g_max=g（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2-（1+$\frac{a}{2}$）²=3，得a=-2（舍去）
∴可得：a=-2，或$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，同角三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力和转化思想，解题时注意配方法的应用，属于中档题．