Question

20．在等差数列{a_n}中，a₂=6，其前n项和为S_n．等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，且b₂+S₄=33，b₃=S₂
（1）求a_n与b_n；
（2）设数列{c_n}的前n项和为T_n，且c_n=4b_n-a₅，求使不等式T_n＞S₆成立的最小正整数n的值．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q＞0，由于a₂=6，b₁=1，且b₂+S₄=33，b₃=S₂，可得a₁+d=6，q+4a₁+$\frac{4×3}{2}d$=33，q²=2a₁+d．联立解得即可得出．
（2）c_n=4b_n-a₅=4×3^n-1-15．可得数列{c_n}的前n项和为T_n=2×3ⁿ-2-15n．S₆=63．不等式T_n＞S₆，化为2×3ⁿ-2-15n＞63，即f（n）=2×3ⁿ-15n＞63．利用其单调性即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q＞0，
∵a₂=6，b₁=1，且b₂+S₄=33，b₃=S₂，
∴a₁+d=6，q+4a₁+$\frac{4×3}{2}d$=33，q²=2a₁+d．
联立解得：q=3，a₁=3，d=3．
∴a_n=3+3（n-1）=3n，b_n=3^n-1．
（2）c_n=4b_n-a₅=4×3^n-1-15．
∴数列{c_n}的前n项和为T_n=$4×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-15n=2×3ⁿ-2-15n．
S₆=$6×3+\frac{6×5}{2}×3$=63．
不等式T_n＞S₆，化为2×3ⁿ-2-15n＞63，即f（n）=2×3ⁿ-15n＞63．
∵f（n+1）-f（n）=2×3ⁿ⁺¹-15（n+1）-2×3ⁿ+15n=4×3ⁿ-15，
当n≥2时，f（n+1）＞f（n），即数列f（n）单调递增，
又f（1）=-9＜0，f（2）=-12，f（3）=9，f（4）=102＞63，
因此使得f（n）=2×3ⁿ-15n＞63的n的最小值为4．
使不等式T_n＞S₆成立的最小正整数n的值是4．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．