Question

12．设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=3，c=1，A=2B，则cosC=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 根据三角函数的倍角公式先求出a的值，利用余弦定理进行求解即可．

解答 解：在△ABC中，∵b=3，c=1，A=2B，
∴$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}=\frac{a}{2sinBcosB}$，
即a=2bcosB=6cosB，
由余弦定理可知，cosB=$\frac{36co{s}^{2}B+1-9}{2×6cosB}$，
整理得cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则a=6cosB=2$\sqrt{3}$，
则cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{12+9-1}{2×2\sqrt{3}×3}$=$\frac{20}{12\sqrt{3}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，

故答案为：$\frac{5\sqrt{3}}{9}$

点评 本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及三角函数的倍角公式进行化简是解决本题的关键．