Question

4．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}$．
（1）在线段BC上求作一点G，使得平面EFG∥平面PAB；
（2）在（1）的条件下，求三棱锥C-EFG的高．

Answer 1

分析 （1）取BC中点G，连结EG、FG，则平面EFG∥平面PAB．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥C-EFG的高．

解答 解：（1）取BC中点G，连结EG、FG，则平面EFG∥平面PAB．
理由如下：
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EG∥PB，EF∥CD∥AB，
∵EF∩EG=E，PB∩AB=B，EG、EF?平面EFG，PB、AB?平面PAB，
∴平面EFG∥平面PAB．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
C（1，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），D（0，1，0），E（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），F（0，$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），G（1，$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{GC}$=（0，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{GE}$=（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{GF}$=（-1，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面EFG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GE}=-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GF}=-x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∴三棱锥C-EFG的高h=$\frac{|\overrightarrow{CG}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$．
∴三棱锥C-EFG的高为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查使平行的点的确定，考查三棱锥的高的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．