Question

9．已知$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，2），$\overrightarrow{n}$=（2cosx，cos²x），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，
（1）求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C和边a，b，c满足a=2，f（A）=2，sinB=2sinC，求边c．

Answer 1

分析 （1）根据向量的坐标运算以及二倍角公式，化简求出f（x），根据三角函数的性质求出值域；
（2）先求出A的大小，再根据正弦余弦定理即可求出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，2），$\overrightarrow{n}$=（2cosx，cos²x），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∵-1≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1≤3，
∴函数f（x）的值域为[-1，3]；
（2）∵f（A）=2，
∴2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$
∴2A+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$，或2A+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴A=kπ，（舍去），A=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∵sinB=2sinC，由正弦定理可得b=2c，
∵a=2，由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA，
∴3c²=4，
解得c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了向量的数量积德运算，三角函数的化简求值，正弦余弦定理，属于中档题．