Question

18．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，$\sqrt{{S}_{n}+4}$是a_n与1的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{S}_{n}}{n+4}$•2${\;}^{{a}_{n}-3}$（n∈N^*），记数列{b_n}的前n项和为T_n，求使得T_n＞2016成立的最小正整数n．

Answer 1

分析 （1）通过对2$\sqrt{{S}_{n}+4}$=a_n+1两边平方可知4S_n=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n-15，并与4S_n-1=${{a}_{n-1}}^{2}$+2a_n-1-15作差，整理可知a_n-a_n-1=2（n≥2），进而可知数列{a_n}是首项为5、公差为2的等差数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=n•4ⁿ，利用错位相减法计算可知T_n=$\frac{3n-1}{9}$•4ⁿ⁺¹+$\frac{4}{9}$，整理可知（3n-1）4ⁿ＞485，通过记f（x）=（3x-1）4^x，利用f（x）为增函数及f（2）=80＜485、f（3）=512＞485即得结论．

解答 解：（1）依题意，2$\sqrt{{S}_{n}+4}$=a_n+1，
整理得：4S_n=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n-15，
∴当n≥2时，4S_n-1=${{a}_{n-1}}^{2}$+2a_n-1-15，
两式相减得：4a_n=${{a}_{n}}^{2}$-${{a}_{n-1}}^{2}$+2（a_n-a_n-1），
整理得：${{a}_{n}}^{2}$-${{a}_{n-1}}^{2}$=2（a_n+a_n-1），
又∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n-a_n-1=2，
又∵4S₁=${{a}_{1}}^{2}$+2a₁-15，解得a₁=5或a₁=-3（舍），
∴数列{a_n}是首项为5、公差为2的等差数列，
故其通项公式a_n=5+2（n-1）=2n+3；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{{S}_{n}}{n+4}$•2${\;}^{{a}_{n}-3}$=n•4ⁿ（n∈N^*），
则T_n=1•4+2•4²+…+n•4ⁿ，4T_n=1•4²+2•4³+…+（n-1）•4ⁿ+n•4ⁿ⁺¹，
两式相减得：-3T_n=4+4²+4³+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-n•4ⁿ⁺¹
=$\frac{1-3n}{3}$•4ⁿ⁺¹-$\frac{4}{3}$，
∴T_n=$\frac{3n-1}{9}$•4ⁿ⁺¹+$\frac{4}{9}$，
∴T_n＞2016即$\frac{3n-1}{9}$•4ⁿ⁺¹+$\frac{4}{9}$＞2016，
整理得：（3n-1）4ⁿ＞485，
记f（x）=（3x-1）4^x，则f（x）为增函数，
∵f（2）=80＜485，f（3）=512＞485，
∴满足条件的最小正整数n=3．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．