Question

8．生产一批零件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于8为优质品，小于8大于等于4为正品，小于4为次品，现随机抽取这种零件100件进行检测，检测结果统计如下：据以上述测试中各组的频率作为相应的概率．

测试指标	[0，2）	[2，4）	[4，6）	[6，8）	[8，10）
零件数	2	8	32	38	20

（1）试估计这种零件的平均质量指标；
（2）生产一件零件，若是优质品可盈利40元，若是正品盈利20元，若是次品则亏损20元，若从大量的零件中随机抽取2件，其利润之和记为x（单位：元），求x的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用组中值，估计这种零件的平均质量指标；
（2）由题意知x的可能取值为80，60，40，20，-40，0，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列及数学期望．

解答 解：（1）这种零件的平均质量指标$\frac{1}{100}$[1×2+3×8+5×32+7×38+9×20]=6.32；
（2）优质品的概率为0.2，正品的概率为0.7，次品的概率为0.1，
x的取值为80，60，40，20，-40，0．
P（x=80）=0.2×0.2=0.04，P（x=60）=0.7×0.2×2=0.28，
P（x=40）=0.7×0.7=0.49．P（x=20）=0.2×0.1×2=0.04，
P（x=-40）=0.1×0.1=0.01，P（x=0）=0.7×0.1×2=0.14，
所以x的分布列为：

x	80	60	40	20	-40	0
P	0.04	0.28	0.49	0.04	0.01	0.14

数学期望E（X）=80×0.04+60×0.28+40×0.49+20×0.04+（-40）×0.01+0×0.14=40．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型，是中档题．