Question

16．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=2x²+$\frac{a}{x}$（a是常数）过点P（-1，-30），则函数y=2x²+$\frac{a}{x}$在区间[1，4]的最大值与最小值的和为64．

Answer 1

分析 由题意可得2-a=-30，解得a，再求函数的导数和单调区间、极值可得最小值，再计算端点的函数值，可得最大值，进而得到所求和．

解答 解：由题意可得2-a=-30，
解得a=32，
则y=2x²+$\frac{32}{x}$导数为y′=4x-$\frac{32}{{x}^{2}}$，
由2＜x＜4，可得y′＞0，函数递增，
1＜x＜2时，可得y′＜0，函数递减．
即有x=2处取得极小值，也为最小值24，
x=1时，y=34；x=4时，y=40．
即有函数的最大值为40，
则最值之和为64．
故答案为：64．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，求得单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题．