Question

17．已知菱形ABCD的边长为为4，∠ABC=$\frac{π}{3}$，向其内部随机投放一点P，则点P与菱形各顶点距离均大于1的概率为（　　）

• A． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{24}$
• B． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{12}$
• C． $\frac{\sqrt{3}π}{24}$
• D． $\frac{\sqrt{3}π}{12}$

Answer 1

分析 根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积进行求解即可．

解答 解：分别以A，B，C，D为圆心，1为半径的圆，
则所以概率对应的面积为阴影部分，
则四个圆在菱形内的扇形夹角之和为2π，
则对应的四个扇形之和的面积为一个整圆的面积S=π×1²=π，
∵S_菱形ABCD=AB•BCsin$\frac{π}{3}$=4×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_菱形ABCD-S_空白=8$\sqrt{3}$-π×1²=8$\sqrt{3}$-π．
因此，该点到四个顶点的距离大于1的概率P=$\frac{{S}_{阴影}}{{S}_{菱形}}$=$1-\frac{{\sqrt{3}π}}{24}$，
故选：A．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据对应分别求出对应区域的面积是解决本题的关键．