Question

7．已知函数f（x）=1n（e-2+|x|）-$\frac{5}{1+{x}^{2}}$，若f（x-1）＜0，则x的取值范围是（-1，3）．

Answer 1

分析 先根据定义判断f（x）为偶函数，再根据导数和函数单调性的关系，可得f（x）在[0，+∞） 上为增函数，f（0）＜0，f（2）=0，即可求出f（x）＜0的解集，根据图象的平移可以得到f（x-1）＜0的解集．

解答 解：∵f（x）=1n（e-2+|x|）-$\frac{5}{1+{x}^{2}}$，
易知函数f（x）为偶函数，
当x≥0时f（x）=1n（e-2+x）-$\frac{5}{1+{x}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{e-2+x}$+$\frac{10x}{（1+{x}^{2}）^{2}}$＞0在[0，+∞]上恒成立，
∴f（x）在[0，+∞） 上为增函数，
∵f（0）=ln（e-2）-5＜0，f（2）=ln（e-2+2）-$\frac{5}{1+{2}^{2}}$=0，
∴当0≤x＜2时，f（x）＜0，
由f（x）为偶函数，
∴当-2＜x＜2时，f（x）＜0，
由f（x）的图象向右平移1个单位得到f（x-1），
由f（x-1）＜0，
∴-1＜x＜3，
故不等式f（x-1）＜0的解集为（-1，3）．
故答案为：（-1，3）．

点评 本题考查了函数的奇偶性，导数和函数的单调性的关系以及函数图象的平移，属于中档题．