Question

12．等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AC边上中点，BD=3，则当△ABC面积最大时，∠DBC的大小为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，设出三角形的各点坐标，根据BD长度得到a，b的关系，利用基本不等式得出三角形面积的最值即三角形的边长，在△BCD中利用余弦定理求出∠DBC．

解答 解：以BC所在直线为x轴，以BC边的高为y轴建立平面直角坐标系，设A（0，b），B（-a，0），C（a，0）．
则D（$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$），∴|BD|=$\sqrt{（\frac{3a}{2}）^{2}+（\frac{b}{2}）^{2}}$=3，整理得9a²+b²=36≥2×3ab=6ab，∴ab≤6．当且仅当3a=b时取等号．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}×2a×b$=ab≤6．∴当3a=b时，△ABC面积取得最大值6．∴a=$\sqrt{2}$，b=3$\sqrt{2}$．
此时，BC=2a=2$\sqrt{2}$，CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
在△BCD中由余弦定理得cos∠DBC=$\frac{9+8-5}{12\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴∠DBC=$\frac{π}{4}$．
故答案为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了两点间的距离公式，基本不等式，余弦定理，属于中档题．