Question

6．已知函数y=a^x+2-2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则当$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$取最小值时，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知求出A的坐标，代入直线mx+ny+1=0，可得2m+n=1，求出$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$取最小值时m，n的值，结合隐含条件求出椭圆的半焦距，代入离心率公式得答案．

解答 解：∵y=a^x（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（0，1），
∴函数y=a^x+2-2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（-2，-1），
由点A在直线mx+ny+1=0上，得-2m-n+1=0，
∴2m+n=1，
则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）（2m+n）=3+$\frac{n}{m}+\frac{2m}{n}$，
∵mn＞0，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=3+$\frac{n}{m}+\frac{2m}{n}$$≥3\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}=3\sqrt{2}$．
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=1}\\{\frac{n}{m}=\frac{2m}{n}}\end{array}\right.$，即m=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，n=$\sqrt{2}-1$时上式等号成立．
∴${a}^{2}={n}^{2}=（\sqrt{2}-1）^{2}=3-2\sqrt{2}$，${c}^{2}={a}^{2}-{b}^{2}=（\sqrt{2}-1）^{2}-（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$，
则${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{\frac{1}{2}（3-2\sqrt{2}）}{3-2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
∴e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了利用基本不等式求最值，考查椭圆的标准方程，训练了利用椭圆标准方程求椭圆离心率的方法，是中档题．