Question

4．给出下列四个命题：
①函数$f（x）=sinx+\sqrt{3}cosx+1$的一个对称中心坐标是$（{-\frac{π}{3}，0}）$；
②函数y=a^（3-x）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（3，2）；
③函数f（x）=ln（2x-x²）的单调减区间是[1，+∞）；
④若函数f（x）的定义域（-1，1），则函数f（x+1）的定义域是（-2，0），
其中正确的命题个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数对称性的性质进行判断即可．
②根据指数函数过定点的性质进行判断．
③根据复合函数单调性和定义域之间的关系进行判断．
④根据复合函数定义域之间的关系进行判断．

解答 解：①函数$f（x）=sinx+\sqrt{3}cosx+1$=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+1，
当x=-$\frac{π}{3}$，则f（-$\frac{π}{3}$）=1，即函数的一个对称中心坐标为（-$\frac{π}{3}$，1），故①错误；
②当x=3时，y=1+1=2，即函数y=a^（3-x）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（3，2）；故②正确，
③由2x-x²＞0得0＜x＜2，即函数的定义域为（0，2），则函数f（x）=ln（2x-x²）的单调减区间是[1，+∞）错误；故③错误，
④若函数f（x）的定义域（-1，1），则由-1＜x+1＜1得-2＜x＜0，
则函数f（x+1）的定义域是（-2，0），正确，故④正确，
故正确的是②④，
故选：B

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的性质，指数函数，复合函数单调性，综合性较强，难度不大．