Question

13．已知A（-2，0），B（2，0），且△ABM的周长等于2$\sqrt{6}$+4．
（1）求动点M的轨迹G的方程；
（2）已知点C，D分别为东直线y=k（x-2）（k≠0）与轨迹G的两个交点，问在x轴上是否存在定点E，使$\overrightarrow{EC}$²+$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{CD}$为定值？若存在，求此定值并求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义得出动点M的轨迹G是以A，B为焦点的椭圆，且a=$\sqrt{6}$，c=2，即可求椭圆C的标准方程；
（2）动直线l的方程代入椭圆方程，由此利用韦达定理结合已知条件能推导出在x轴上存在定点E使$\overrightarrow{EC}$²+$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{CD}$为定值．

解答 解：（1）∵A（-2，0），B（2，0），且△ABM的周长等于2$\sqrt{6}$+4，
∴|MA|+|MB|=2$\sqrt{6}$＞4，
∴动点M的轨迹G是以A，B为焦点的椭圆，且a=$\sqrt{6}$，c=2，
∴b=$\sqrt{2}$，
∴动点M的轨迹G的方程$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）y=k（x-2）（k≠0），代入椭圆方程可得（2+6k²）x²-24k²x+24k²-12=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{24{k}^{2}}{2+6{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{24{k}^{2}-12}{2+6{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=k²（x₁-2）（x₂-2）=-$\frac{4}{2+6{k}^{2}}$•k²，y₁+y₂=-$\frac{8}{2+6{k}^{2}}$•k，
设E（m，0），则$\overrightarrow{EC}$²+$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{ED}$=（x₁-m，y₁）•（x₂-m，y₂）
=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=$\frac{{k}^{2}（20-24m-6{m}^{2}）-12-2{m}^{2}}{2+6{k}^{2}}$，
若$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{ED}$=t，则$\frac{{k}^{2}（20-24m-6{m}^{2}）-12-2{m}^{2}}{2+6{k}^{2}}$=t，
∴（20-24m-6m²-6t）k²-2m²-12-2t=0，
∴20-24m-6m²-6t=0，2m²+12+2t=0，
∴m=$\frac{7}{3}$，t=-$\frac{103}{9}$
∴存在E（$\frac{7}{3}$，0），使$\overrightarrow{EC}$²+$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{CD}$为-$\frac{103}{9}$．

点评 本题主要考查了向量在几何中的应用，以及轨迹问题和直线和圆的方程的应用，同时考查转化的思想和计算的能力，属于中档题．