Question

1．已知椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}+1}$+$\frac{{y}^{2}}{a}$=1（a＞0）
（1）求椭圆C的形状最圆时的方程；
（2）当椭圆C的形状最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点M，证明：点M在一个定圆上．

Answer 1

分析 （1）椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}+1}$+$\frac{{y}^{2}}{a}$=1（a＞0），可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{a}{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{a+\frac{1}{a}}}$，利用基本不等式的性质即可得出．
（2）由椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．取特殊的相互垂直的切线：x=±$\sqrt{2}$，y=1，相交于点（±$\sqrt{2}$，1），取圆的方程：x²+y²=3．设P（x₀，y₀）为圆上的任意一点，则经过点P的圆的切线方程为：y-y₀=k（x-x₀），与椭圆方程联立化为：（1+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+$2（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-2=0，利用△=0 及其根与系数的关系即可得出．

解答 解：（1）∵椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}+1}$+$\frac{{y}^{2}}{a}$=1（a＞0），∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{a}{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{a+\frac{1}{a}}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当且仅当a=1设取等号，
可得椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
此时椭圆C的形状最圆．
（2）由椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．取两条特殊的相互垂直的切线：x=±$\sqrt{2}$，y=1，相交于点（±$\sqrt{2}$，1），
取圆的方程：x²+y²=3．
设P（x₀，y₀）为圆上的任意一点，则经过点P的圆的切线方程为：y-y₀=k（x-x₀），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{0}=k（x-{x}_{0}）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化为：（1+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+$2（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-2=0，
∴△=$16{k}^{2}（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}$-8（1+2k²）$[（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}-1]$=0，
化为：$（2-{x}_{0}^{2}）$k²+2kx₀y₀+1-${y}_{0}^{2}$=0，$（{x}_{0}^{2}≠2）$，
∴k₁k₂=$\frac{1-{y}_{0}^{2}}{2-{x}_{0}^{2}}$，
∵${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$=3，可得$1-{y}_{0}^{2}$=${x}_{0}^{2}$-2，
∴k₁k₂=$\frac{1-{y}_{0}^{2}}{2-{x}_{0}^{2}}$=-1．
综上可得：点M在一个定圆上x²+y²=3上．

点评 本题考查了标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题转化为一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．