Question

12．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ （a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过点A（a，0）和B（0，-b）的直线与原点的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知点P（-1，0）和点Q（0，2），若直线l恒过点Q且与椭圆M交于C、D两点．问：是否存在以弦CD为直径的圆过点P？若存在，求出置直线l的方程．若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A，B的坐标可表示直线AB的方程，进而求得原点到直线的距离，得到a和b的关系式，由椭圆离心率及隐含条件求得a和b，则椭圆方程可求；
（2）假设存在满足条件的直线l，由题意知其斜率存在，设斜率为k，由直线方程与椭圆方程联立，根据判别式求得k的范围，设出C，D点坐标，根据韦达定理可得x₁+x₂和x₁x₂，由$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}=0$列式求得k值得答案．

解答 解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab=0，
依题意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，又a²=b²+c²，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）假设存在这样的直线l，由题意可知其斜率存在，设斜率为k，
则直线方程为y=kx+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
则△=（12k）²-36（1+3k²）＞0    ①
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{12k}{1+3{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{9}{1+3{k}^{2}}$    ②
以弦CD为直径的圆过点P，则$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}=0$，
即（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=0，
整理得：x₁x₂+（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0，
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4．
∴（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0    ③
将②式代入③整理解得k=$\frac{7}{6}$．
验证k=$\frac{7}{6}$使①成立．
∴直线l的方程为y=$\frac{7}{6}x+2$．
综上可知，存在直线ly=$\frac{7}{6}x+2$，使得以CD为直径的圆过过点P．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．