Question

11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若C=$\frac{2π}{3}$，c=$\sqrt{2}$a，则$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理解出sinA，使用内角和公式和差角公式求出sinB，则$\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}$．

解答 解：由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，∴sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．∴cosA=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
∴sinB=sin（$\frac{π}{3}$-A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{10}}{4}$-$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{4}$=$\frac{\sqrt{30}-\sqrt{6}}{8}$．
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}×\frac{8}{\sqrt{30}-\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理得应用，属于基础题．