Question

1．函数f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}-1}{x-2}$的取值范围为[0，1]．

Answer 1

分析 令x=cosθ（0≤θ≤π）换元，化简后利用$y=\frac{sinθ-1}{cosθ-1}$（0≤θ≤π）的几何意义求得答案．

解答 解：由1-x²≥0，得-1≤x≤1，
令x=cosθ（0≤θ≤π），
则函数f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}-1}{x-2}$化为y=$\frac{\sqrt{1-co{s}^{2}θ}-1}{cosθ-2}$=$\frac{\sqrt{si{n}^{2}θ}-1}{cosθ-2}=\frac{sinθ-1}{cosθ-2}$，
其几何意义为单位圆上半圆与定点P（2，1）连线的斜率，
如图：

∵${k}_{AP}=\frac{1-0}{2-1}=1$，
∴函数f（x）=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}-1}{x-2}$的取值范围为[0，1]．
故答案为：[0，1]．

点评 本题考查函数值域的求法，考查了换元法，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．