Question

9．设x≥0，利用求函数的最大（小）值的方法证明不等式：x³+4≥3x²．（提示：令f（x）=x³-3x²+4（x≥0））

Answer 1

分析 通过令f（x）=x³-3x²+4（x≥0），并对其求导判断函数f（x）的单调性，进而求出最小值，整理即得结论．

解答 证明：令f（x）=x³-3x²+4（x≥0），
则f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
令f′（x）=0可知x=0或x=2，
故在区间[0，2]上f′（x）＜0，即函数f（x）=x³-3x²+4单调递减，
在区间[2，+∞）上f′（x）＞0，即函数f（x）=x³-3x²+4单调递增，
于是函数f（x）=x³-3x²+4在区间[0，+∞）上的最小值f（x）_min=f（2）=2³-3×2²+4=0，
故当x≥0时f（x）≥0，即x³-3x²+4≥0，x³+4≥3x²．

点评 本题考查函数最值及其几何意义，考查利用导数判断函数的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．