Question

13．已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位后得到y=g（x）的图象．
（1）求y=g（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若g（$\frac{3}{4}B$）=1，且b=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式将函数进行化简，结合函数图象平移关系先得到g（x），然后利用周期公式进行求解即可；
（2）由g（$\frac{3}{4}B$）=1得到B=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）$f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1=sin2x-cos2x=\sqrt{2}sin（{2x-\frac{π}{4}}）$，
将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位后得到g（x），
即g（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
则函数的周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）若g（$\frac{3}{4}B$）=1，$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{3}{4}B$+$\frac{π}{4}$）=1，
则sin（$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴0＜$\frac{3}{2}$B＜$\frac{3}{2}$π，
则$\frac{π}{4}$＜$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{4}$，
则$\frac{3}{2}$B+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，
即B=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
即4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c时取等号．
∴ac≤4
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴△ABC的面积的最大值是$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的图象和性质，以及余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力．