Question

10．已知p：方程x²-（3+a）x+3a=0在[-2，2]上有且仅有一解；q：只有一个实数x满足不等式x²-2ax+3a≤0．若“命题p或q“是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 p：原方程化为（x-3）（x-a）=0，由于此方程在[-2，2]上有且仅有一解，因此a∈[-2，2]；q：只有一个实数x满足不等式x²-2ax+3a≤0，可得△=0，解得a．由于“命题p或q“是假命题，可得p与q都是假命题，即可得出．

解答 解：p：方程x²-（3+a）x+3a=0化为（x-3）（x-a）=0，由于此方程在[-2，2]上有且仅有一解，因此a∈[-2，2]；
q：只有一个实数x满足不等式x²-2ax+3a≤0，∴△=4a²-12a=0，解得a=0或a=3．
∵“命题p或q“是假命题，
∴p与q都是假命题，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜-2或a＞2}\\{a≠0且a≠3}\end{array}\right.$，
解得a＜-2，或a＞2且a≠3．
∴实数a的取值范围是a＜-2，或a＞2且a≠3．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．