Question

11．已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：
（1）（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}{b}$）≥9；
（2）$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab+1}$≥$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 （1）利用a+b=1，代入化简可知（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}{b}$）=5+2（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$），进而利用基本不等式计算即得结论；
（2）利用a+b=1，代入化简可知$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab+1}$=$\frac{3}{ab+1}$-2，进而利用基本不等式计算即得结论．

解答 证明：（1）（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}{b}$）=1+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{ab}$
=1+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{a+b}{ab}$
=1+$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{b}$
=1+2（$\frac{a+b}{a}$+$\frac{a+b}{b}$）
=5+2（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）
≥5+2×2$\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{a}{b}}$
=9（当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{a}{b}$即a=b=$\frac{1}{2}$时取等号）；
（2）$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab+1}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab+1}$
=$\frac{1-2ab}{ab+1}$
=$\frac{3-2（ab+1）}{ab+1}$
=$\frac{3}{ab+1}$-2，
∵ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴$\frac{3}{ab+1}$-2≥$\frac{3}{\frac{1}{4}+1}$-2=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab+1}$≥$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查不等式的证明，利用基本不等式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．