Question

7．如图，A、B是圆O上的两点，且AB的长度小于圆O的直径，直线l与AB垂于点D且与圆O相切于点C．若AB=2，DB=1
（1）求证：CB为∠ACD的角平分线；
（2）求圆O的直径的长度．

Answer 1

分析 （1）由切割线定理得CD²=DA•DB=3，证明∠ACB=∠CAB，利用CD为圆O的切线，∠BCD=∠，可得∠BCD=∠ACB，即可证明CB为∠ACD的角平分线；
（2）连结AO并延长交圆O于点E，连结CE，求出AE，即可求圆O的直径的长度．

解答 （1）证明：由切割线定理得CD²=DA•DB=3，
∴$CD=\sqrt{3}$…（1分）
又∵在Rt△CDB中，CB²=CD²+BD²=3+1=4…（2分）
∴在Rt△CBA中，CB=AB=2，
∴∠ACB=∠CAB…（3分）
又∵CD为圆O的切线，
∴∠BCD=∠CAB…（4分）
∴∠BCD=∠ACB，CB为∠ACD的角平分线  …（5分）
（2）解：连结AO并延长交圆O于点E，连结CE，
设DC延长线上一点为F，则
∵AE为圆O直径，∴$∠ACE=\frac{π}{2}$
∵直线l与圆O相切于点C．∴∠ACD=∠E，∠BCD=∠2，
∴∠1=∠2（等角的余角相等）
∴∠1=∠2=∠BCD=∠ACB…（6分）
∴EC=BC=AB=2（相等的圆周角所对的弦相等） …（7分）
∵AC²=AD²+CD²=9+3=12…（8分）
∴AE²=EC²+AC²=4+12=16…（9分）
∴AE=4圆O的直径为4                          …（10分）

点评 本题考查切割线定理，圆的切线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．