Question

2．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，M、N分别是棱A₁B、AC上的点，A₁M=AN．
（1）求证：MN∥平面BB₁C₁C；
（2）求MN的长的最小值．

Answer 1

分析 （1）以D₁为原点，D₁A₁为x轴，D₁C₁为y轴，D₁D为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN∥平面BB₁C₁C．
（2）由$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{\sqrt{2}b}{2}$，0，a-$\frac{\sqrt{2}b}{2}$），利用配方法能求出b=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$时，MN的长取最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

解答 证明：（1）以D₁为原点，D₁A₁为x轴，D₁C₁为y轴，D₁D为z轴，建立空间直角坐标系，
设A₁M=AN=b，则M（a，$\frac{\sqrt{2}b}{2}$，$\frac{\sqrt{2}b}{2}$），N（a-$\frac{\sqrt{2}b}{2}$，$\frac{\sqrt{2}b}{2}$，a），
$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{\sqrt{2}b}{2}$，0，a-$\frac{\sqrt{2}b}{2}$），
∵平面BB₁C₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}$=0，又MN?平面BB₁C₁C，∴MN∥平面BB₁C₁C．
解：（2）∵$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{\sqrt{2}b}{2}$，0，a-$\frac{\sqrt{2}b}{2}$），
∴|$\overrightarrow{MN}$|=$\sqrt{\frac{2{b}^{2}}{4}+（{a}^{2}-\sqrt{2}ab+\frac{2{b}^{2}}{4}）}$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-\sqrt{2}ab}$=$\sqrt{（b-\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}+\frac{{a}^{2}}{2}}$，
∴b=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$时，MN的长取最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线段长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．