Question

10．已知，如图正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E、F分别是AB，AD的中点．
（1）求证：EF⊥GH；
（2）求点C到平面GEF的距离；
（3）求直线BD到平面GEF的距离．

Answer 1

分析 （1）证明EF⊥平面ACG，即可证明EF⊥GH；
（2）作CM⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知CM⊥平面EFG，线段CM的长就是点C到平面EFG的距离，即可求点C到平面GEF的距离；
（3）BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，即可求直线BD到平面GEF的距离．

解答 （1）证明：∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵E、F分别是AB，AD的中点，
∴EF∥BD，
∴EF⊥AC，
∵CG⊥平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF⊥CG，
∵AC∩CG=C，
∴EF⊥平面ACG，
∵GH?平面ACG，
∴EF⊥GH
（2）解：∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线．
作CM⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知CM⊥平面EFG，
所以线段CM的长就是点C到平面EFG的距离．
∵正方形ABCD的边长为4，GC=2，
∴AC=4$\sqrt{2}$，HO=$\sqrt{2}$，HC=3$\sqrt{2}$．
∴在Rt△HCG中，HG=$\sqrt{22}$
∴CM=$\frac{2×3\sqrt{2}}{\sqrt{22}}$=$\frac{6\sqrt{11}}{11}$．
即点C到平面EFG的距离为$\frac{6\sqrt{11}}{11}$；
（3）解：连接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O．
因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，
所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．
作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，
∴线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．
∴点B到平面EFG的距离为OK=$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查点面距离的计算能力，属于中档题．