Question

18．如图，在四棱锥O-ABCD中，∠BAD=120°，OA⊥平面ABCD，E为OD的中点，OA=AC=$\frac{1}{2}$AD=2，AC平分∠BAD．
（1）求证：CE∥平面OAB；
（2）求四面体OACE的体积．

Answer 1

分析 （1）证明平面CEF∥平面OAB，即可证明CE∥平面OAB；
（2）求出E到平面OAC的距离为h=$\frac{1}{2}CD$=$\sqrt{3}$，即可求四面体OACE的体积．

解答 （1）证明：取AD中点F，连接EF，CF，则EF∥OA，
∵EF?平面OAB，OA?平面OAB，
∴EF∥平面OAB，
△ACF中，AC=AF，∠CAF=60°，∴∠ACF=60°，
∵∠BAC=60°，
∴AB∥CF，
∵CF?平面OAB，AB?平面OAB，
∴CF∥平面OAB，
∵EF∩CF=F，
∴平面CEF∥平面OAB，
∵CE?平面CEF，
∴CE∥平面OAB；
（2）解：在△ACD中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}-2AC•AD•cos∠CAD}$=2$\sqrt{3}$，
∴AC²+CD²=AD²，
∴AC⊥CD，
∵OA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴OA⊥CD，
∵AC∩OA=A，
∴CD⊥平面OAC，
∵E是OD的中点，
∴E到平面OAC的距离为h=$\frac{1}{2}CD$=$\sqrt{3}$，
∵S_△OAC=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴四面体OACE的体积V=$\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．