Question

5．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=$\sqrt{3}$，点D为AC的中点，点E在线段AA₁上．
（Ⅰ）当E为AA₁中点时，求证：ED∥平面A₁B₁C₁
（Ⅱ）当$\frac{AE}{E{A}_{1}}$为何值时，点A到平面BDE的距离为$\frac{1}{2}$？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得ED∥A₁C，由此能证明ED∥平面A₁B₁C．
（Ⅱ）过A作AF⊥DE于F，由已知得AA₁⊥BD，BD⊥AC，从而点A到平面BDE的距离为AF=$\frac{1}{2}$，由面积公式，由此能求出AE，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵在△AA₁C中，E为AA₁中点，D为AC的中点，
∴ED∥A₁C，且ED?平面A₁B₁C，A₁C?平面A₁B₁C，
∴ED∥平面A₁B₁C．
（Ⅱ）解：如图，过A作AF⊥DE于F，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱
∴AA₁⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴AA₁⊥BD，
在正△ABC中，D是AC的中点，∴BD⊥AC，
∴BD⊥平面AC 1，AF?平面AC₁，
∴BD⊥AF，又AF⊥DE，
∴AF⊥平面BDE，故点A到平面BDE的距离为AF，即AF=$\frac{1}{2}$．
设AE=a，在Rt△ADE中，AD=1，得DE=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
由面积公式，得AE•AD=DE•AF，即a=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+1}$，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
当点A到平面BDE的距离为$\frac{1}{2}$时，AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AA₁=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AE}{E{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．