Question

1．如图，长方体AC₁中，已知AB=BC=a，BB₁=b（b＞a），连结BC₁，过B₁作B₁E⊥BC₁交CC₁于E，交BC₁于Q．
（1）求证：AC₁⊥平面EB₁D₁；
（2）求点C₁到平面B₁ED₁的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出B₁D₁⊥平面AA₁C₁，从而AC₁⊥B₁D₁，推导出B₁E⊥平面ABC₁，从而AC₁⊥B₁E，由此能证明AC₁⊥平面EB₁D₁．
（2）以A₁为原点，A₁B₁为x轴，A₁D₁为y轴，A₁A为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C₁到平面B₁ED₁的距离．

解答 证明：（1）∵AB=BC，∴A₁B₁=B₁C₁，
∵A₁B₁C₁D₁为正方形，∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵AA₁⊥B₁D₁，AA₁∩A₁C₁=A₁，
∴B₁D₁⊥平面AA₁C₁，∴AC₁⊥B₁D₁，
∵AB⊥平面BCC₁B₁，B₁E?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥B₁E，又∵B₁E⊥BC₁，AB∩BC₁=B，
∴B₁E⊥平面ABC₁，∴AC₁⊥B₁E，
∵B₁E∩B₁D=B₁，∴AC₁⊥平面EB₁D₁．
解：（2）以A₁为原点，A₁B₁为x轴，A₁D₁为y轴，A₁A为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=BC=a，BB₁=b（b＞a），连结BC₁，过B₁作B₁E⊥BC₁交CC₁于E，交BC₁于Q．
∴C₁（a，a，0），B₁（a，0，0），D（0，a，0），设E（a，a，t），B（a，0，b），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，a，-b），$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（0，a，t），
∵B₁E⊥BC₁，∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}E}$=a²-tb=0，解得t=$\frac{{a}^{2}}{b}$，∴E（a，a，$\frac{{a}^{2}}{b}$），
$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-a，a，0），$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（0，a，$\frac{{a}^{2}}{b}$），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（0，a，0），
设平面B₁DE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=-ax+ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}E}=ay+\frac{{a}^{2}}{b}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\frac{b}{a}$），
∴点C₁到平面B₁ED₁的距离d=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|a|}{\sqrt{2+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}}$=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．