Question

8．如图，∠BAC的平分线与BC和△ABC的外接圆分别相交于D和E，延长AC交过D，E，C三点的圆于点F．
（1）求证：EC=EF；（2）若ED=2，EF=3，求AC•AF的值．

Answer 1

分析 （1）证明∠ECF=∠EFC，即可证明EC=EF；
（2）证明△CEA∽△DEC，求出EA，利用割线定理，即可求AC•AF的值．

解答 （1）证明：因为∠ECF=∠CAE+∠CEA=∠CAE+∠CBA，∠EFC=∠CDA=∠BAE+∠CBA，AE平分∠BAC，
所以∠ECF=∠EFC，所以EC=EF．---（4分）
（2）解：因为∠ECD=∠BAE=∠EAC，∠CEA=∠DEC，
所以△CEA∽△DEC，即$\frac{CE}{EA}=\frac{DE}{CE}，EA=\frac{{E{C^2}}}{DE}$，---（6分）
由（1）知，EC=EF=3，所以$EA=\frac{9}{2}$，---（8分）
所以$AC•AF=AD•AE=（AE-DE）•AE=\frac{45}{4}$．---（10分）

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．