Question

14．如图，矩形ABCD所在平面与三角形ECD所在平面相交于CD，AE⊥平面ECD
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）若点M在线段AE上，AM=2ME，且CD=DE=AE，求平面BCE与平面BDM所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用线面垂直的判定定理进行证明即可；
（Ⅱ）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程即可得到结论．

解答 （1）∵AE⊥平面ECD，CD?平面ECD，
∴AE⊥CD，又∵AB∥CD，
∴AB⊥AE．
在矩形中ABCD，AB⊥AD，
∵AD∩AE=A，AD，AE?平面ADE，
∴AB⊥平面ADE．                        
 （2）∵AB⊥平面ADE，
∴CD⊥平面ADE，
∵DE?平面ADE，
∴CD⊥DE，
∵AE⊥平面ECD，
∴以E为坐标原点，以ED为x轴，平行于CD的直线为y轴，EA为z轴，建立空间坐标系如图：
∵AM=2ME，且CD=DE=AE，
∴设ME=1，则AM=2，AE=2+1=3，CD=DE=3，
则E（0，0，0），D（3，0，0），C（3，-3，0），M（0，0，1），A（0，0，3），
则$\overrightarrow{CD}$=（0，3，0），
∵$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{CD}$=（0，3，0），
∴B（0，-3，3），
则$\overrightarrow{EB}$=（0，-3，3），$\overrightarrow{EC}$=（3，-3，0），$\overrightarrow{BM}$=（0，3，-2），$\overrightarrow{DM}$=（-3，0，1）
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为面BCE的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-3y+3z=0}\\{3x-3y=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则y=1，x=1，
则$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
设平面BDM的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3y-2z=0}\\{-3x+z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则z=3，y=2，
即$\overrightarrow{n}$=（1，3，2），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+3+2}{\sqrt{3}•\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{42}}{7}$，
即平面BCE与平面BDM所成的锐二面角的余弦值是$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

点评 本题综合考查空间直线和平面平行和垂直的判断以及空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等．