Question

17．如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=$\frac{π}{2}$，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥面PBC．
（1）证明：EF∥BC．
（2）证明：AB⊥平面PFE．
（3）若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长．

Answer 1

分析 （1）由EF∥面PBC可得出EF∥BC；
（2）由PC=PD=CD=4可知△PDC是等边三角形，故PE⊥AC，由平面PAC⊥平面ABC可得PE⊥平面ABC，故PE⊥AB，由EF∥BC，BC⊥AB可得AB⊥EF，从而AB⊥平面PEF；
（3）设BC=x，用x表示出四边形DFBC的面积，根据体积列出方程解出x．

解答 解：（1）证明：∵EF∥面PBC．EF?面ABC，面PBC∩面ABC=BC，
∴EF∥BC．
（2）∵由CD=DE+EC=4，PD=PC=4，∴△PDC是等边三角形，
∴PE⊥AC，又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩面ABC=AC，PE?平面PAC，
∴PE⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，
∴PE⊥AB，
∵∠ABC=$\frac{π}{2}$，EF∥BC．∴AB⊥EF，
又∵PE?平面PEF，EF?平面PEF，PE∩EF=E，
∴AB⊥平面PEF．
（3）设BC=x，则AB=$\sqrt{36-{x^2}}$，∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB•BC$=$\frac{x}{2}$$\sqrt{36-{x}^{2}}$，
∵EF∥BC，∴△AFE∽△ABC，∴${S_{△AEF}}：{S_{△ABC}}=\frac{4}{9}$．
∵AD=$\frac{1}{2}$AE，${S_{△AFD}}=\frac{1}{9}x\sqrt{36-{x^2}}$，∴S_{四边形DFBC}=$\frac{7}{18}x\sqrt{36-{x^2}}$，
由（2）可知PE⊥平面ABC，且PE=$2\sqrt{3}$，
∴V=$\frac{1}{3}×\frac{7}{18}x\sqrt{36-{x^2}}×2\sqrt{3}=7$，解得x=3或者$x=3\sqrt{3}$，
∴BC=3或BC=$3\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面平行的性质，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．