Question

1．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，SD=DC=2AD，侧棱SD⊥底面ABCD，点E是SC的中点，点F在SB上，且EF⊥SB．
（1）求证：SA∥平面BDE；
（2）求证SB⊥平面DEF；
（3）求二面角C-SB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于点O，连接OE．然后利用三角形中位线的性质可得OE∥SA，再由线面平行的判定定理证得SA∥平面BDE；
（2）由SD=DC，E是SC的中点可得DE⊥SC，再由面面垂直的判定和性质得到BC⊥平面SDC，从而得到BC⊥DE，进一步得到SB⊥DE，结合已知EF⊥SB，由线面垂直的判定得结论；
（3）根据二面角的定义得到∠EFD是二面角C-SB-D的平面角，根据三角形的边角关系进行求解即可．

解答 （1）证明：如图，
连接AC交BD于点O，连接OE．
∵点O、E分别为AC、SC的中点，
∴OE∥SA，又OE?平面BDE，SA?平面BDE，
∴SA∥平面BDE；
（2）证明：∵SD=DC，E是SC的中点，∴DE⊥SC，
又SD⊥底面ABCD，∴平面SDC⊥平面ABCD，
∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥平面SDC，
∴BC⊥DE，
又SC∩BC=C，∴DE⊥平面SBC，
又SB?平面SBC，∴SB⊥DE，
又EF⊥SB，
EF∩ED=E，
∴SB⊥平面EFD；
（3）∵EF⊥SB，SB⊥平面EFD，
∴∠EFD是二面角C-SB-D的平面角，
设AD=1，则SD=CD=2，
则SC=2$\sqrt{2}$，SB=$\sqrt{B{C}^{2}+S{C}^{2}}$=3，BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，DE=$\sqrt{2}$，
在三角形SDB中，SB•DF=SD•BD，即DF=$\frac{SD•BD}{SB}$=$\frac{2×\sqrt{5}}{3}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
在三角形SBC中，sinCSB=$\frac{BC}{SB}=\frac{EF}{SE}=\frac{1}{3}$，即EF=$\frac{1}{3}$SE=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
在三角形DEF中，cosEFD=$\frac{E{F}^{2}+D{F}^{2}-D{E}^{2}}{2EF•DF}$=$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{5}}{3}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}{2×\frac{\sqrt{2}}{3}×\frac{2\sqrt{5}}{3}}$=$\frac{\frac{2}{9}+\frac{20}{9}-2}{\frac{4\sqrt{10}}{9}}$=$\frac{22-18}{4\sqrt{10}}=\frac{4}{4\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
即二面角C-SB-D的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题综合考查空间中线线、线面的位置关系和空间中角的计算，涉及二面角的平面角，传统方法和坐标向量法均可，考查的知识面较广，综合性较强，运算量较大．