Question

18．一个长为8cm，宽为6cm，高为10cm的密封的长方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，则小球在盒子中总不能到达的空间的体积为$80-\frac{58π}{3}$cm³．

Answer 1

分析 小球在盒子不能到达的空间要分以下几种情况，在长方体顶点处的小正方体中，其体积等于小正方体体积减球的体积，再求出在以长方体的棱为一条棱的12个的四棱柱空间内小球不能到达的空间，其他空间小球均能到达，即可得到结果．

解答 解：在长方体的8个顶点处的单位立方体空间内，
小球不能到达的空间为：8[1-$\frac{1}{8}•（\frac{4π}{3}•{1}^{3}）$]=8-$\frac{4π}{3}$，
除此之外，在以长方体的棱为一条棱的12个的四棱柱空间内，
小球不能到达的空间共为4[1×1×6+1×1×4+1×1×8-$\frac{1}{4}•（π•{1}^{2}）•（6+4+8）$]=72-18π．
其他空间小球均能到达．
故小球不能到达的空间体积为$80-\frac{58π}{3}$．
故答案为：$80-\frac{58π}{3}$．

点评 本题考查的知识点是球的体积，棱柱的体积，其中熟练掌握棱柱和不堪的几何特征，建立良好的空间想象能力是解答本题的关键．