Question

14．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，D为C₁B的中点，P为AB边上的动点．
（ I）若P为AB的中点，求证：DP∥平面ACC₁A₁；
（ II）若$AP=\frac{1}{2}$，求三棱锥A-DCP的体积．

Answer 1

分析 （1）连接DP，AC₁，由中位线定理可得DP∥AC₁，故DP∥平面ACC₁A₁；
（2）由D为C₁B的中点可知D到底面的距离为$\frac{1}{2}$AA₁，求出△ACP的面积，代入体积公式计算即可．

解答 解：（1）证明：连接DP，AC₁，
∵D为C₁B的中点，P为AB的中点，
∴DP∥AC₁，又∵AC₁?平面ACC₁A₁，DP?平面ACC₁A₁，
∴DP∥平面ACC₁A₁．
（2）${S_{△ACP}}=\frac{1}{2}AC•AP•sin{60°}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∵D是BC₁的中点，∴D到平面ABC的距离h=$\frac{1}{2}$AA₁=$\frac{3}{2}$．
∴V_棱锥A-DCP=V_棱锥D-ACP=$\frac{1}{3}$S_△ACP•h=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．