Question

8．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=2，D是棱BB₁的中点，且BD=1，则C₁与平面ADC的距离为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{7}}{2}$

Answer 1

分析 以C为原点，在平面ABC为赤C作CB的垂线为x轴，以CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出C₁与平面ADC的距离．

解答 解：以C为原点，在平面ABC为赤C作CB的垂线为x轴，以CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，D是棱BB₁的中点，且BD=1，
∴C₁（0，0，2），A（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，2，1），C（0，0，0），
$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{CD}$=（0，2，1），
设平面ADC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-2$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$），
∴C₁与平面ADC的距离：d=$\frac{|\overrightarrow{C{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|8\sqrt{3}|}{\sqrt{4+12+48}}$=$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．