Question

19．如图1，已知正三角形ABC，以AB、AC为边在同一平面内向外作正三角形ABE与ACD，F为CD中点，分别沿AB、AF将平面ABE、平面ADE折成直二面角，连接EC、CD，如图2所示．
（1）求证：CD∥平面ABE；
（2）求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面平行的性质定理证明平面DEF∥平面ABE，即可证明CD∥平面ABE；
（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角E-AC-B的余弦值．

解答 （1）证明：取AB的中点O，连接EO，OC，则EO⊥AB，0C⊥AB，
∵平面ABE⊥平面ABC，
∴EO⊥平面ABC，
∵平面ADE⊥平面ABC，F为CD中点，
∴DF⊥AF，DF⊥CF，
则DF⊥平面ABC，
则DF∥OE，则DF∥平面ABE，
∵CF∥AB，∴则CF∥平面ABE，
∵DF∩CF=F，
∴平面DEF∥平面ABE，
∵CD?平面CDF
∴CD∥平面ABE；
（2）以O为原点，以OA，0C，0E为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设OB=1，
则B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），A（-1，0，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），
则$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（1，0，$\sqrt{3}$）
则平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设平面EAC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=0}\\{x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=$\sqrt{3}$，则y=-1，z=-1，即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-1，-1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{3+1+1}}=\frac{-1}{\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$
由于二面角E-AC-B是锐二面角，
∴二面角E-AC-B的余弦值是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题综合考查空间中线线、线面的位置关系和空间中角的计算，涉及二面角的平面角，传统方法和坐标向量法均可，考查的知识面较广，难度中等．