Question

4．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且P是平面ABCD外一点，P在平面ABCD上的射影O恰在AD上，OB=OP=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$，AB=BC=2．
（1）证明：PD⊥BO；
（2）若过点C与平面PAB平行的平面交PD于点E，求PE长．

Answer 1

分析 （1）要证明直线PA垂直BO，根据线面垂直的性质只需要证明BO垂直于PA所在的面PAD即可．
（2）过C作CE∥AB，交AD于F，在平面PAD中，过F作FE∥PA，交PD于E，由此能求出PE．

解答 证明：（1）在△AOB中，OB=OP=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$，AB=BC=2，
则AB²=AO²+BO²，∴AO⊥BO．
∵P在平面ABCD上的射影O恰在AD上，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BO．
又AO?面PAO，PO?面PAO，且AO∩PO=O，
∴BO⊥平面PAO．
又PD?平面PAO，∴PD⊥BO．
解：在平面ABCD中，过C作CE∥AB，交AD于F，在平面PAD中，过F作FE∥PA，交PD于E，
∵AB∥FC，PA∥EF，AB∩PA=A，EF∩FC=F，∴平面EFC∥平面PAB，
∵等腰梯形ABCD，∴由题意，PO=$\sqrt{3}$，PO⊥OD，
AO=FO=1，BF=AB=CD=AF=DF=2，
∴OD=OF+DF=3，∴PD=$\sqrt{3+9}$=2$\sqrt{3}$，
∴PE=$\frac{1}{2}PD=\sqrt{3}$．

点评 本题考查异面直线的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．