Question

12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切钱EP交CB 的延长线于P，己知∠PAB=25°．
（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；
（2）若∠DAE=25°，求证：DA²=DC•BP．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理得∠ACB=∠PAB=25°，从而∠ABC=65°，由此利用四边形ABCD内接于⊙O，能求出∠D．
（2）由∠DAE=25°，∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，从而△ADC∽△PBA，由此能证明DA²=DC•BP．

解答 解：（1）∵EP与⊙O相切于点A，∴∠ACB=∠PAB=25°，
又BC是⊙O的直径，∴∠ABC=65°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°，
∴∠D=115°．
证明：（2）∵∠DAE=25°，∴∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，
∴△ADC∽△PBA，∴$\frac{DA}{BP}=\frac{DC}{BA}$，
又DA=BA，∴DA²=DC•BP．

点评 本题考查角的大小的求法，考查一线段平方是另两线段乘积的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．