Question

7．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AP⊥平面ABC，且AP=AB，点D是PB的中点，点E是PC上的一点，
（1）当DE∥BC时，求证：直线PB⊥平面ADE；
（2）当DE⊥PC时，求证：直线PC⊥平面ADE；
（3）当AB=BC时，求二面角A-PC-B的大小．

Answer 1

分析 （1）证明AP⊥BC，AB⊥BC，推出BC⊥平面PAB，得到BC⊥PB，DE⊥PB，即可证明PB⊥平面ADE．
（2）证明BC⊥AD，AD⊥PC，结合DE⊥PC，即可证明PC⊥平面ADE．
（3）说明∠AED是二面角A-PC-B的平面角，设AP=a，则AB=BC=a，在Rt△ADE中，可求得∠AED=60°，得到二面角A-PC-B的大小．

解答 （1）证：∵AP=AB，点D是PB的中点，∴AD⊥PB，
∵AP⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AP⊥BC，∵AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴BC⊥PB，
∵DE∥BC，∴DE⊥PB，∴PB⊥平面ADE．  （4′）
（2）证：∵BC⊥平面PAB，AD?平面PAB，∴BC⊥AD，
又AD⊥PB，∴AD⊥平面PBC，∵PC?平面PBC，
∴AD⊥PC，
又DE⊥PC，∴PC⊥平面ADE．   （7′）
（3）解：由（2）可知，当DE⊥PC时，PC⊥平面ADE，
∴∠AED是二面角A-PC-B的平面角．     （8′）
设AP=a，则AB=BC=a，$AC=\sqrt{2}a$，$PC=\sqrt{3}a$，（9′）
∵AD⊥平面PBC，DE?平面PBC，∴AD⊥DE，
在Rt△ADE中，可求得，$AD=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，$AE=\frac{AP•AC}{PC}=\frac{{a•\sqrt{2}a}}{{\sqrt{3}a}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}a$，（10′）
∴$sinAED=\frac{AD}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴∠AED=60°，
∴二面角A-PC-B的大小为60⁰．       （12′）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．