Question

17．四棱锥E-ABCD中，AD∥BC，AD=AE=2BC=2AB=2，AB⊥AD，平面EAD⊥平面ABCD，点F为DE的中点．
（1）求证：CF∥平面EAB；
（2）若CF⊥AD，求二面角D-CF-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理即可证明CF∥平面EAB；
（2）若CF⊥AD，建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角D-CF-B的余弦值．

解答 解：（1）取AE的中点G，连接FG，GB，
∵点F为DE的中点，∴GF∥AD，且GF=$\frac{1}{2}$AD，
∵AD∥BC，AD=2BC，
∴GF∥BC，且GF=BC，
∴四边形CFGB为平行四边形，则CF∥BG，而CF?平面EAB，BG?平面EAB，
∴CF∥平面EAB．
（2）∵CF⊥AD，
∴AD⊥BG，
∵AB⊥AD，∴AD⊥平面EAB，
∴AD⊥EA，
∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，
∴EA⊥平面ABCD，
以A为坐标原点，以AB，AD，AE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），F（0，1，1），
设平面BCF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（x，y，z）•（0，1，0）=0}\\{（x，y，z）•（-1，0，1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{-x+z=0}\end{array}\right.$，令x=1，则z=1，即$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
平面CDF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），同理得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
由于二面角D-CF-B是钝二面角，
∴二面角D-CF-B的余弦值是-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题综合考查空间中线线、线面的位置关系和空间中角的计算，涉及二面角的平面角，传统方法和坐标向量法均可，考查的知识面较广，难度中等．