Question

13．如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E是圆O上的一点，弧$\widehat{AE}$与弧$\widehat{AC}$相等，ED与AB交于点F，AF＞BF．
（Ⅰ）若AB=11，EF=6，FD=4，求BF；
（Ⅱ）证明：PF?PO=PA?PB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OC，OE，由相交弦定理，得FA•FB=FE•FD，利用AF＞BF，求BF；
（Ⅱ）利用割线定理，结合△PDF∽△POC，即可证明PF•PO=PA•PB．

解答 （Ⅰ）解：由相交弦定理，得FA•FB=FE•FD，（1分）
即（11-FB）•FB=6×4，（2分）
解得BF=3或BF=8，（3分）
因为AF＞BF，所以BF=3．（4分）
（Ⅱ）证明：连接OC，OE．
因为弧AE等于弧AC，所以$∠AOC=∠AOE=\frac{1}{2}∠EOC=∠EDC$，（5分）
所以∠POC=∠PDF，（6分）
又∠P=∠P，所以△POC∽△PDF，（7分）
所以$\frac{PO}{PD}=\frac{PC}{PF}$，即PO•PF=PC•PD，（8分）
又因为PA•PB=PC•PD，（9分）
所以PF•PO=PA•PB．（（10分）

点评 本题考查相交弦定理，考查割线定理，三角形相似的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．