Question

11．设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos（B-C）+cosA=$\frac{3}{2}$，a²=bc，则角A的大小为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由题意和三角函数公式可得sinBsinC=$\frac{3}{4}$，再由a²=bc和正弦定理可得sinA，解得A验证可得．

解答 解：∵△ABC中cos（B-C）+cosA=$\frac{3}{2}$，
∴cos（B-C）-cos（B+C）=$\frac{3}{2}$，
∴cosBcosC+sinBsnC-（cosBcosC-sinBsnC）=$\frac{3}{2}$，
∴2sinBsnC=$\frac{3}{2}$，sinBsinC=$\frac{3}{4}$，
再由a²=bc和正弦定理可得sin²A=sinBsinC=$\frac{3}{4}$，
由三角形中sinA＞0可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
若A=$\frac{2π}{3}$，则cos（B-C）+cosA=cos（B-C）-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴cos（B-C）=2，显然矛盾，应舍去
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，注意去掉一解是解决问题的关键，属中档题．