Question

3．空间四边形ABCD的两条对棱AC，BD互相垂直，AC，BD的长分别为8和2，则平行四边形两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，面积的最大值是4．

Answer 1

分析 假设EFGN是截面四边形，EFGN为平行四边形，设EN=x（0＜x≤2），FE=y（0＜y≤8），xy=S（S为所求面积），利用EN∥BD，可得$\frac{AN+ND}{AD}$=1=$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{8}$，整理可得8=4x+y，利用基本不等式即可解得面积的最大值．

解答 解：如图，假设EFGN是截面四边形，EFGN为平行四边形；
设EN=x（0＜x≤2），FE=y（0＜y≤8），xy=S（S为所求面积）；
由EN∥BD，可得：$\frac{EN}{BD}=\frac{AN}{AD}$=$\frac{x}{2}$，$\frac{DN}{AD}$=$\frac{NG}{AC}$=$\frac{y}{8}$，
两式相加，得：$\frac{AN+ND}{AD}$=1=$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{8}$，
化简，得8=4x+y，
可得：8=4x+y≥2$\sqrt{4xy}$，（当且仅当2x=y时等号成立），解得：xy≤4，
解得：S=xy≤4．
故答案为：4．

点评 本题考查了直线与平面平行的性质，四边形取值范围的求法，是中档题，解题要认真审题，注意空间思维能力的培养．