Question

8．设向量$\overrightarrow{AB}$=（2sinx，-1），$\overrightarrow{CD}$=（3，4），x∈（0，π），当|$\overrightarrow{AB}$|取最大值时，向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$方向上的投影为（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$或-2
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$或-2

Answer 1

分析 由向量$\overrightarrow{AB}$的坐标求出模，结合三角函数的有界性求出|$\overrightarrow{AB}$|取最大值时的$\overrightarrow{AB}$的具体坐标，代入投影公式得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$=（2sinx，-1），
∴$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{（2sinx）^{2}+（-1）^{2}}≤\sqrt{{2}^{2}+1}=\sqrt{5}$x∈（0，π），
∴当2sinx=2时，|$\overrightarrow{AB}$|取最大值，
此时向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}=\frac{2×3-4}{5}=\frac{2}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，是中档题．