Question

15．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$、$\overrightarrow{d}$为非零向量，且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{d}$，则下列命题正确的个数为（　　）
①若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$=0；②若$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$=0，则|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|；③若|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{d}$|，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0；④若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，则|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{d}$|．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 分$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共线和不共线判断①，利用已知条件判断以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为邻边的四边形的形状可得②③④的真假，则答案可求．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$、$\overrightarrow{d}$为非零向量，且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{d}$，得
①若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，当$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$共线时，$\overrightarrow{c}$或$\overrightarrow{d}$为$\overrightarrow{0}$，满足$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$=0，
当$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$不共线时，可知以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为邻边的四边形的形状是菱形，则$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$=0，①正确；
②若$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$=0，可得：（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，即${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow{b}}^{2}$，则|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，②正确；
③若|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{d}$|，可知以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为邻边的四边形的形状是矩形，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，③正确；
④若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，可知以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为邻边的四边形的形状是矩形，则|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{d}$|，④正确．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，向量的数量积运算及其几何意义，是中档题．